On the average velocity of flow over a movable bed

Vitesse moyenne d'un écoulement sur fond mobile

Hydraulics Research Station, Wallingford.

Résumé

INTRODUCTION L'un des problèmes d'actualité de l'hydraulique fluviale est celui de l'influence des ondulations d'un lit alluvionnaire sur les pertes de charge de l'écoulement. L'auteur se propose de déterminer, à partir de considérations d'analyse dimensionnelle, les paramètres à adopter pour l'étude expérimentale de ce problème. Variables sans dimensions du phénomène : La vitesse moyenne v de l'écoulement est fonction des sept paramètres définissant le fluide (viscosité cinématique v et masse volumique ρ), le matériau de fond (masse volumique ρ8 et diamètre D), et l'écoulement (tirant d'eau h, pente S et accélération de la pesanteur g), ou encore des paramètres dérivés v, q, qs, D, h y = (ρs - r) g et v* = √gSh Selon le théorème des II, le coefficient de frottement c = v/v* est alors fonction des quatre variables sans dimensions X, Y, Z et W (équ. 7). Dans le cas d'un lit fixe plat et rugueux, c est seulement fonction de X et Z, puisqu'on peut considérer que ce cas correspond à ρ8 et y8 → ∞. La hauteur de rugosité K8 est le diamètre caractéristique des grains de matériau. On obtient alors la relation (9). Quand le fond est ondulé, la hauteur de rugosité à prendre en compte est la hauteur des rides ou dunes ; la forme de l'ondulation est définie d'autre part par l'angle de repos sous l'eau du matériau ψ ; et la cambrure Δ/λ (fig. 1). Le coefficient de frottement c est donc une fonction F2 des paramètres h/Δ, h/k8, Δ/λ et ψ ; (équ. 11). Forme de la fonction F2 : L'auteur détermine le coefficient de frottement c sur le fond à partir des pertes de charge de l'écoulement, lesquelles se subdivisent en : - pertes de charge à la Borda au passage de la crête des dunes (fig. 2, équ. 17) ; pertes de charge par frottement sur la face amont des dunes (équ. 19). L'expression finale de c est donnée par la relation (21). Les valeurs de c calculées par cette formule sont en bon accord avec celles déterminées en partant des valeurs expérimentales de v/v* (fig. 3), pour les essais en canal effectués au Laboratoire de Wallingford. Valeurs expérimentales de c (eau + sable) : Le coefficient c est fonction des paramètres X, Y, Z et W, c'est-à-dire encore de : ξ = X2/Y, η = Y/Z, Y et W. Le paramètre ξ = γ8D3/ρv2 est pratique, car il est indépendant de l'écoulement. Les figures 5 à 9 indiquent les résultats obtenus avec du sable (W = Cte), pour diverses granulométries (ξ variable). Les valeurs expérimentales de c sont très voisines des valeurs de c calculées à partir de la loi de vitesse à la paroi de Prandtl, quand il n'y a pas de dunes. L'influence de la pente S (c'est-à-dire de η) est négligeable, compte tenu des erreurs de mesure ; par contre, l'allure des courbes dépend beaucoup de ξ. Pour deux matériaux avec η = S (y/y8) voisins, les valeurs expérimentales de c correspondant à des ξ et Y égaux sont très proches (voir fig. 10) ; le paramètre W = ρ/ρ8 n'a donc pas d'influence très marquée. REMARQUES GÉNÉRALES: Les paramètres Z (ou η) et W peuvent être négligés, du moins dans le domaine expérimental envisagé; ce qui ne signifie pas néanmoins que le coefficient c soit indépendant de ces deux variables. Einstein (réf. 8) supposait en fait que c ne dépendait que de Y ; la divergence entre ses résultats théoriques et expérimentaux tient à cette hypothèse. L'expression établie par Simons et Richardson (réf. 10) peut se mettre sous la forme c = f (X, Y, Z, W, w/v*) w étant la vitesse de chute du grain. Comme w/v* ne dépend que de X et Y, on est donc ramené à une fonction des quatre paramètres proposés par l'auteur.