Second order linearized theory of free-surface flow in porous media

Théorie linéarisée, du deuxième ordre, de l'écoulement à surface libre dans les milieux poreux

Lecturer, Hydraulic Laboratory, Technion-Israel Institut of Technology.

Résumé

On examine l'écoulement à surface libre d'un liquide incompressible et homogène dans un milieu poreux isotrope, homogène et indéformable. Pour résoudre exactement un tel problème, il est nécessaire de déterminer le potentiel de vitesse, φ, comme fonction harmonique (équation I.1) respectant une condition aux limites non linéaire (équation I.2) sur la surface libre inconnue en mouvement (équation I.3). Une méthode approchée consiste à développer les expressions, correspondant au potentiel, et à la surface libre, en une série exponentielle d'un paramètre ε de faible valeur (équations II.1, II.2), semblable à l'approximation des ondes infinitésimales. On dérive ensuite les équations définissant les deux premiers termes (équations II.8, II.9). Alors que les fonctions restent harmoniques, les conditions à la surface libre deviennent linéaires, et sont posées pour une surface permanente, et a priori connue. Deux cas sont examinés en détail, d'une part, celui d'une surface permanente correspondant à un plan incliné (équations II.10-II.13, fig. 1 a), et d'autre part, celui d'une surface plane et horizontale (équations II.14-II.16, fig. 1 b). On examine la convergence des développements en fonction d'un paramètre de faible valeur, pour le cas d'un écoulement plan se dirigeant vers un ensemble de puits (fig. 2), pour lequel Van Deemter avait trouvé une solution exacte. Il apparaît la possibilité de développer le potentiel complexe Ω en une série (équation III.15), convergente pour une valeur arbitraire de ε. Deux exemples de solutions du deuxième ordre sont présentés. Dans le cas d'un écoulement plan permanent par un barrage, le profil de la surface libre est défini par l'équation IV.8. On montre que l'on aboutit à une évaluation exacte du débit, et que ces résultats sont voisins de celui obtenu à l'aide des hypothèses de Dupuit, à condition que l'écoulement soit peu profond (équations IV.17, IV.18). On calcule le profil de la surface libre pour le cas d'un écoulement profond (équation VI.19, fig. 4). L'amortissement d'une surface libre initiale de profil cosinusoïdal est un exemple d'un écoulement non permanent. La solution est exprimée par l'équation IV.24. On croit pouvoir obtenir une importante classe de nouvelles solutions à l'aide de la théorie linéarisée.