Laminar eddies in a two-dimensional conduit expansion

Les tourbillons laminaires dans un élargissement d'une conduite à deux dimensions

¹ Research Associate, Institute of Hydraulic Research, The University of Iowa, Iowa City, Iowa.
² Associate Professor, Department of Mechanics and Hydraulics ; Research Engineer, Institute of Hydraulic Research, The University of Iowa, Iowa City, Iowa.

Résumé

L'article expose les résultats de calculs effectués à l'aide d'un ordinateur électronique, intéressant la zone de décollement de l'écoulement dans un élargissement, dans un rapport de 2 à 1, d'une conduite à deux dimensions, et présente des schémas d'écoulement, et des profils de vorticité, correspondant à des nombres de Reynolds de 0 à 333. Deux méthodes ont été employées : dans l'une, on détermine directement le régime permanent à partir d'équations sans termes non permanents, et dans l'autre, on aborde la solution par un procédé asymptotique, correspondant à l'intégration numérique des équations présentant des termes d'accélération localisée. A conditions égales, la méthode non permanente s'est révélée stable, au point de vue du calcul, alors que la méthode permanente devenait instable ; lorsque les deux méthodes étaient stables, leurs résultats montraient une excellente concordance. Les équations qui ont permis de construire le schéma des différences correspondant au modèle mathématique ayant servi pour la présente étude, sont les équations (7) et (8), couplées par l'intermédiaire des conditions aux limites. La substitution de l'équation (7) en (8) fournirait une seule équation du 4e ordre, mais l'expérience du passé a démontré la grande difficulté du traitement numérique d'une telle équation. L'étude de l'écoulement à travers l'élargissement de la conduite s'est faite par deux méthodes. L'une, que nous appellerons la méthode "permanente", a consisté à calculer la solution en régime permanent, à partir de l'équation (8). et sans intervention du terme non permanent ζi; l'autre méthode, que nous appellerons la méthode "non permanente", était basée sur l'application de l'équation (8) "telle quelle" à l'une des solutions déjà fournies par la méthode permanente. La méthode non perrnanente a permis le passage, sans modification des dimensions de la maille, de l'écoulement correspondent à un nombre de Reynolds donné, à un autre écoulement, correspondant à un nombre de Reynolds bien plus élevé (ou plus faible). Les équations aux différences finies intervenant dans la méthode permanente sont les équations (9) et (10), obtenues à partir des équations (7) et (8) à l'aide de formules du genre des (11) et (12). Dans les équations aux différences finies (9) et (10) , l'indice k indique le nombre des itérations ; celles-ci se font dans le sens des j et des i croissants, ou bien, ce qui revient au même, des y et des x croissants. Pour la méthode non perrnanente, on a employé les équations (13) et (14), dans lesquelles n représente l'indice du temps. On notera que la première de ces deux équations indique la possibilité de calculer ζ à l'instant (n + 1) δt, à partir des valeurs stables de Ψ et de ζ à l'instant nδt, et celle de ζ à l'instant (n -1) δt. Une fois faits les calculs de ζ à l'instant (n + 1) δt, on calcule la fonction de courant par itération, à l'aide de l'équation (14). Etant donné qu'il semblait si évident que les solutions correspondant au régime permanent s'obtiendraient plus aisément à partir d'équations sans termes non permanents, la première partie de la présente étude a été consacrée à l'intégration des équations (9) et (10) en partant du cas-limite de la disparition des forces d'inertie, soit du cas bien connu de l'écoulement de fluage. Ensuite, une fois déterminé l'écoulement correspondant à un nombre de Reynolds donné, on a fait augmenter la valeur de ce nombre dans l'équation (10), et on a repris le calcul autant de fois qu'il fallait pour obtenir des valeurs bien établies. A cause d'instabilités du calcul, il n'est possible, pour des dimensions de maille données, de poursuivre ce procédé, et d'obtenir de bons résultats, que jusqu'à un certain nombre de Reynolds ; une fois ce nombre de Reynolds atteint, le passage à une maille de plus petites dimensions s'impose. L'influence des dimensions de maille, et des méthodes de balayage, sur la stabilité des calculs, a été étudiée à l'aide d'un écoulement uniforme et perturbé, en faisant pour ce dernier des calculs correspondant à une partie de la conduite à deux dimensions. Les équations (15) à (21) représentent la méthode par laquelle les auteurs ont abordé les conditions aux limites. Dans toute expérience réelle ayant pour objet la détermination d'une zone de décollement, il est nécessaire d'accélérer le fluide progressivement, à partir de son état initial au repos. Autrement dit, on n'envisagerait guère d'établir l'écoulement permanent recherché d'un seul coup. Par conséquent, il semble qu'un schéma de calcul plus naturel, pour la détermination de la zone de décollement, devrait, en principe, être propre à reproduire, sur le modèle mathématique, ce qui se passe dans le milieu physique. Cependant, ceci n'a été fait qu'après s'être heurté à des difficultés insurmontables avec la méthode permanente, qui de prime abord était censée plus simple et rapide. Or, la méthode non permanente s'est montrée à la fois d'un maniement tout aussi aisé que la méthode permanente, et beaucoup plus stable. La méthode permanente représentait un moyen différent de déterminer des schémas d'écoulement; elle servait également à vérifier et à guider la méthode non permanente, dont on préconisera néanmoins l'emploi pour toute nouvelle étude. Le procédé employé a consisté à changer le nombre de Reynolds dans l'équation (13), sans modifier les valeurs de la fonction de courant aux limites, ce qui peut se concevoir comme une modification brusque de la viscosité, la valeur du débit restant constante. Les figures 2 et 3 représentent une série de schémas d'écoulement, et les profils de vorticité correspondants, obtenus par la méthode permanente. Ces figures ne correspondent qu'à une partie des calculs exécutés pour la gamme des nombres de Reynolds s'échelonnant de 0 jusqu'à Presque 100. Les résultats des calculs effectués à l'aide de la méthode non permanente sont représentés sur la figure 4, qui montre le schéma d'écoulement correspondant à R = 333, et ayant été obtenu à partir de celui correspondant à R = 200 par un artifice consistant à changer le nombre de Reynolds dans les équations aux différences finies de 200 à 333, tout en maintenant constante la valeur du débit sans dimensions. Le schéma d'écoulement correspondent à R = 200 a été obtenu en "accélérant" de R = 48 à R = 93,3, et ensuite de R = 93,3 à R = 200. Les schémas (a) à (e) de la figure 4 montrent, successivement, les étapes initiale, intermédiaire, et finale de "l'écoulement" du calcul, en passant de R = 200 à R = 333. Une caractéristique intéressante de la croissance du tourbillon est que l'écoulement en son intérieur évolue d'une manière qui paraît réaliste, en ce sens que l'observation expérimentale de la scission du tourbillon en deux parties est possible, dans le cas des tourbillons de forme allongée. Des calculs imposant une accélération réelle du débit "modèle" par un élargissement, ont déjà été effectués sous la direction du deuxième auteur de l'étude ; il s'est montré que, là aussi, le tourbillon sE scindait en deux parties, de manière semblable à celle indiquée sur la figure 4. Le dernier schéma de cette figure correspond également à R = 200, mais il a été obtenu en réduisant brutalement le nombre de Reynolds de 333 à 200 ; seul y figure le tourbillon de plus petites dimensions, puisque le tourbillon se rétrécit tout à fait régulièrement, comme s'il restait semblable à lui-même, sans se scindre en deux. Les figures 5 et 6 indiquent la croissance calculée de la longueur relative du tourbillon, la position du centre du tourbillon, et son intensité, due aux variations du nombre de Reynolds, respectivement de 48 à 98,3, et de 333 à 200. La figure 7 présente quatre caractéristiques de tourbillons permanents, en fonction du nombre de Reynolds ; ou y notera avec intérêt la croissance linéaire de la longueur du tourbillon. L'utilisation de formes discrétisées des équations correspondant à l'écoulement visqueux, lorsque l'on dispose d'ordinateurs à grande capacité et rapidité de calcul poussée met à disposition un puissant moyen pour l'étude des écoulements résistant encore aux procédés classiques d'intégration analytique. Un des avantages des modèles mathématiques est qu'ils permettent d'emmagasiner "l'écoulement", et "d'effectuer des observations complémentaires" à n'importe quel moment par la suite. C'est exactement ce qu'ont fait les auteurs, en calculant la pression, la somme de Bernoulli, les efforts normaux et tangentiels, les termes tenant compte de la qualité, de mouvement et de l'impulsion, et les équations de l'énergie et du travail, correspondant à l'un des écoulements emmagasinés dans les élargissements de conduites. Les résultats de ces "observations" ont déjà été présentés en vue de leur publication.