Analysis of scour in open channels by means of mathematical models

L'analyse des affouillements dans des canaux découverts à l'aide de modèles mathématiques

Instituto de Cálculo- Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de Buenos Aires.

Abstract

Le problème classique des affouillements dans des cours d'eau découverts et l'évolution de leur lit dans le temps sont ici discutés. Jusqu'à présent on avait réalisé de telles études au moyen, essentiellement, de modèles physiques et de mesures sur place. La présente communication offre une nouvelle méthode d'aborder ce problème, à l'aide d'une formulation mathématique du processus d'érosion. Le chapitre 2 est livré à une discussion générale des différentes façons de considérer, le problème physique qui trouve son expression dans l'équation (1). Par suite de cette analyse, on introduit la notion d'un modèle mathématique. Ce modèle se traduit par un système de relations qui remplace le problème d'origine (1), et qui peut se calculer plus facilement suivant une forme séquentielle, que selon la méthode classique des différences finies. On donne au chapitre 3 une description complète de la formulation analytique générale du processus d'érosion. Une telle analyse devrait obligatoirement comporter : a) Une description complète de l'écoulement dans le cas de la prise en considération de la viscosité et de la turbulence; b) La description des mouvements du lit du cours d'eau en tant que milieu continu ; c) Les conditions aux limites au plan de contact fluide/lit. La description de l'écoulement en canal découvert est remplacée par une théorie approchée sur la base des équations globales du génie hydraulique, dont les équations sont : (8) ou (8'); (5) ou (5'). On considère que le fluide ne transporte aucun matériau en suspension. On utilise une méthode globale également dans le cas du lit du canal. Il n'y a pas besoin de connaître les conditions aux limites à la surface de séparation. Nous avons retenu la formule de Meyer-Peter (7) pour le taux global de transport solide et nous avons également formulé l'équation de continuité (9) pour le transport solide. Nous avons au total huit paramètres inconnus : V ou Q, h, z, I, G, C, et t0 et t et équations : (3), (5) ou (5'), (7), (8) ou (8') et (9). Celles-ci sont complétées par les relations (10), (11), (12). Donc, le processus d'érosion est déterminé. Soulignons que d'autres formules sont également valables pour G, 1 et C. Ce système d'équations peut servir, par exemple, pour la discussion de l'influence des lits affouillables dans l'évaluation des ondes, des crues et des problèmes d'excavation autour des piles de pont. Les expressions du schéma de calcul sont explicitées, en (13-18), citées dans l'ordre de calcul. Les indices i et j identifient les coordonnées x et i, respectivement. Ce schéma est valable pour les cas d'une instabilité d'écoulement due principalement aux mouvements du lit. En illustration des applications, du modèle, on donne la discusion de deux exemples. En 4.1, on considère l'établissement d'un écoulement uniforme dans un canal découvert ayant un lit de sable (fig. 4). L'évolution dans le temps des phénomènes d'affouillement dans différentes sections du canal est mise en évidence en 5. Les valeurs asymptotes s'accordent bien avec les résultats théoriques. La figure 6 permet d'observer qu'à i = 100 h, le fond du canal est pratiquement parallèle à la surface libre, qui est presque plane. On peut donc considérer que l'écoulement est uniforme. La convergence, ainsi que la stabilité, du schéma de calcul, sont également traitées. Au chapitre 4.2, on examine l'érosion autour d'une pile de section rectangulaire. Afin de déterminer les caractéristiques hydrodynamiques de l'écoulement, nous avons évalué la surface de séparation autour de la pile d'après des expériences physiques, puis nous avons calculé le champ des vitesses et les filets d'écoulement correspondants, en employant l'hypothèse d'un écoulement plan et irrotationnel. Ensuite nous avons appliqué les équations (13-18) à chaque filet. A la figure 8, la planimétrie de la zone affouillée autour de la pile à t = 80 h est indiquée en traits pleins, où les cotes (z = Cte) sont données en cm. Les résultats expérimentaux (expérience n° 30 de la référence [12]) sont également indiqués, en pointillé. Enfin, au chapitre 5, on fait le point des avantages et des inconvénients relatifs des deux types de modèles, physique et mathématique. Cette analyse permet de conclure à l'intérêt d'un emploi conjugué des deux techniques. Leur association constitue une "solution hybride", appelée à favoriser une meilleure compréhension de ce problème difficile. Le modèle mathématique sera donc pris pour la "simulation" du problème dans son ensemble, alors que le modèle physique fournira des renseignements sur des points particuliers.